River Metric (part 3)

Γενικώς, σε τυχαίο μετρικό χώρο αν Α και Β είναι δύο συμπαγή υποσύνολά του, τότε η απόσταση των δύο συνόλων A και B μπορεί να “πιαστεί” σαν η απόσταση ενός στοιχείου a στο Α και ενός στοιχείου b στο B. Με άλλα λόγια η συνάρτηση της απόστασης κάθε στοιχείου x στο Α από κάθε στοιχείο y στο B λαμβάνει ελάχιστη τιμή. Σε αυτή τη βιντεοδιάλεξη,  στο επίπεδο εφοδιασμένο με τη River metric δείχνουμε με ένα κατάλληλο παράδειγμα ότι σε περίπτωση που το ένα από τα A και B δεν είναι συμπαγές, αλλά μονάχα κλειστό το παραπάνω συμπέρασμα ΔΕΝ ισχύει. Άρα, η υπόθεση ότι και τα δύο σύνολα πρέπει να είναι συμπαγή δεν μπορεί να αντικατασταθεί με την ασθενέστερη υπόθεση ότι τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι κλειστό (και όχι συμπαγές).
Για τους φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα “εισαγωγή στην τοπολογία” στο εαρινό εξάμηνο 2020-2021 (Μαθηματικό Ιωαννίνων), η παραπάνω άσκηση είναι η Άσκηση 7 του φυλλαδίου 4 του διδάσκοντα.

Δείτε το βίντεο εδώ ή στο φάκελο e-Διαλέξεις στο sidebar ή ακόμα και στο official κανάλι μας στο Youtube OnlymathsIoannina.